Anthony Barbar est né aux États-Unis. Il vit actuellement à Boca Raton (Floride), où il poursuit ses études à l'Oklahoma Baptist University. En parallèle, il s'entraîne à Fort Lauderdale sous la supervision de Sam Freas III (Westminster Academy Swim Club). Il commence à défendre les couleurs du Liban en mars 2014, où il pulvérise d'entrée de jeu deux records nationaux (50 et 100 m). Il a aussi représenté son pays aux championnats de la Fédération internationale de natation (Fina), aux Jeux asiatiques et Mare Nostrum. Pour les Jeux 2016, Barbar a bénéficié d'une wild card, dans la mesure où aucun nageur libanais n'a pu réaliser le temps de qualification olympique requis, le fameux A Standard. Qualification un brin controversée dans la mesure où, dans un premier temps, c'est le Franco-Libanais Adam Allouche qui avait été retenu pour faire le voyage à Rio. Mais Barbar entend bien apporter une réponse à ses détracteurs dans le bassin olympique.